在数学中，二次函数的最高阶必须是二次的。在数学中，二次函数主要研究学生对公式的应用，是数学知识的重点。二次函数知识点
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数学二次函数知识点归纳,计算
方法,1.样本平均数：⑴ ;⑵若 ， ，…， ,则 (a―常数， ， ，…， 接近较整的常数a);⑶加权平均数： ;⑷平均数是刻划数据的集中趋势(集中位置)的特征数。通常用样本平均数去估计总体平均数，样本容量越大，估计越准确。,2.样本方差：⑴ ;⑵若 , ,…, ,则 (a―接近 、 、…、 的平均数的较“整”的常数);若 、 、…、 较“小”较“整”，则 ;⑶样本方差是刻划数据的离散程度(波动大小)的特征数，当样本容量较大时，样本方差非常接近总体方差，通常用样本方差去估计总体方差。,3.样本标准差：,三、 应用举例(略),初三数学知识点：第四章 直线形,重点相交线与平行线、三角形、四边形的有关概念、判定、性质。, 内容提要,一、 直线、相交线、平行线,1.线段、射线、直线三者的区别与联系,从“图形”、“表示法”、“界限”、“端点个数”、“基本性质”等方面加以分析。,2.线段的中点及表示,3.直线、线段的基本性质(用“线段的基本性质”论证“三角形两边之和大于第三边”),4.两点间的距离(三个距离：点-点;点-线;线-线),5.角(平角、周角、直角、锐角、钝角),6.互为余角、互为补角及表示方法,7.角的平分线及其表示,8.垂线及基本性质(利用它证明“直角三角形中斜边大于直角边”),9.对顶角及性质,10.平行线及判定与性质(互逆)(二者的区别与联系),11.常用定理：①同平行于一条直线的两条直线平行(传递性);②同垂直于一条直线的两条直线平行。,12.定义、命题、命题的组成,13.公理、定理,14.逆命题,二、 三角形,分类：⑴按边分;,⑵按角分,1.定义(包括内、外角),2.三角形的边角关系：⑴角与角：①内角和及推论;②外角和;③n边形内角和;④n边形外角和。⑵边与边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。⑶角与边：在同一三角形中，,3.三角形的主要线段,讨论：①定义②__线的交点―三角形的×心③性质,① 高线②中线③角平分线④中垂线⑤中位线,⑴一般三角形⑵特殊三角形：直角三角形、等腰三角形、等边三角形,4.特殊三角形(直角三角形、等腰三角形、等边三角形、等腰直角三角形)的判定与性质,5.全等三角形,⑴一般三角形全等的判定(SAS、ASA、AAS、SSS),⑵特殊三角形全等的判定：①一般方法②专用方法,6.三角形的面积,⑴一般计算公式⑵性质：等底等高的三角形面积相等。,7.重要辅助线,⑴中点配中点构成中位线;⑵加倍中线;⑶添加辅助平行线,8.证明方法,⑴直接证法：综合法、分析法,⑵间接证法―反证法：①反设②归谬③结论,⑶证线段相等、角相等常通过证三角形全等,⑷证线段倍分关系：加倍法、折半法,⑸证线段和差关系：延结法、截余法,⑹证面积关系：将面积表示出来,三、 四边形,分类表：,1.一般性质(角),⑴内角和：360°,⑵顺次连结各边中点得平行四边形。,推论1：顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形。,推论2：顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形。,⑶外角和：360°,2.特殊四边形,⑴研究它们的一般方法:,⑵平行四边形、矩形、菱形、正方形;梯形、等腰梯形的定义、性质和判定,⑶判定步骤：四边形→平行四边形→矩形→正方形,┗→菱形――↑,⑷对角线的纽带作用：,3.对称图形,⑴轴对称(定义及性质);⑵中心对称(定义及性质),4.有关定理：①平行线等分线段定理及其推论1、2,②三角形、梯形的中位线定理,③平行线间的距离处处相等。(如，找下图中面积相等的三角形),5.重要辅助线：①常连结四边形的对角线;②梯形中常“平移一腰”、“平移对角线”、“作高”、“连结顶点和对腰中点并延长与底边相交”转化为三角形。,6.作图：任意等分线段。,
二次函数知识点总结,I.定义与定义表达式,一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c,(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。,二次函数表达式的右边通常为二次三项式。,II.二次函数的三种表达式,一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0),顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P(h，k)],交点式：y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与x轴有交点A(x? ，0)和 B(x?，0)的抛物线],注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:,h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a,III.二次函数的图像,在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。,IV.抛物线的性质,1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线 x = -b/2a。,对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0),2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ= b^2-4ac=0时，P在x轴上。,3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。,当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。,4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。,当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;,当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。,5.常数项c决定抛物线与y轴交点。,抛物线与y轴交于(0，c),6.抛物线与x轴交点个数,Δ= b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。,Δ= b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。,Δ= b^2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a),V.二次函数与一元二次方程,特别地，二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c，,当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，即ax^2+bx+c=0,此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。,1.二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2 +k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：,当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，,当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到.,当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2 +k的图象;,当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;,当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;,当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象;,因此，研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.,2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).,3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而减小;当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而增大.若a<0，当x ≤ -b/2a时，y随x的增大而增大;当x ≥ -b/2a时，y随x的增大而减小.,4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：,(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c);,(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0,(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x?-x?|,当△=0.图象与x轴只有一个交点;,当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0;当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0.,5.抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.,顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.,6.用待定系数法求二次函数的解析式,(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：,y=ax^2+bx+c(a≠0).,(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0).,(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).,7.二次函数知识很容易与
其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的
热点考题，往往以大题形式出现.,
二次函数知识点总结大全,二次函数概念,一般地，把形如y=ax?+bx+c(其中a、b、c是常数，a≠0，b，c可以为0)的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。二次函数图像是轴对称图形。,注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指变量的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数(具体值未知，但是只取一个值)，“变量”可在实数范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念(函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况)，但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别，如同函数不等于函数的关系。,二次函数公式大全,二次函数,I.定义与定义表达式,一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：,y=ax?+bx+c(a，b，c为常数，a≠0),则称y为x的二次函数。,二次函数表达式的右边通常为二次三项式。,II.二次函数的三种表达式,一般式：y=ax?;+bx+c(a，b，c为常数，a≠0),顶点式：y=a(x-h)?;+k [抛物线的顶点P(h，k)],交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1，0)和 B(x2，0)的抛物线],注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:,h=-b/2a k=(4ac-b?;)/4a x1,x2=(-b±√b?;-4ac)/2a,III.二次函数的图象,在平面直角坐标系中作出二次函数y=x??的图象，,可以看出，二次函数的图象是一条抛物线。,IV.抛物线的性质,1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线,x = -b/2a。,对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。,特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0),2.抛物线有一个顶点P，坐标为,P [ -b/2a ，(4ac-b?;)/4a ]。,当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ= b?-4ac=0时，P在x轴上。,3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。,当a>0时，抛物线向上开口;当a<0时，抛物线向下开口。,|a|越大，则抛物线的开口越小。,4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。,当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;,当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右。,5.常数项c决定抛物线与y轴交点。,抛物线与y轴交于(0，c),6.抛物线与x轴交点个数,Δ= b?-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。,Δ= b?-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。,Δ= b?-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。,V.二次函数与一元二次方程,特别地，二次函数(以下称函数)y=ax?;+bx+c，,当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，,即ax?;+bx+c=0,此时，函数图象与x轴有无交点即方程有无实数根。,函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。,
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